Cristóbal Rojas, matemático: Volviendo al caos

Escrito por: Eliette Angel V.

Cristóbal Rojas, investigador del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas UNAB quiere demostrar que, efectivamente, el tan utilizado Método de Montecarlo, entrega resultados confiables. Este método matemático permea una parte importante de la ingeniería, ciencia y finanzas actuales. Rojas y su equipo partieron con un ejemplo sencillo (la función cuadrática x2 + a). Pero se encontró con una tremenda sorpresa. “El resultado del método es en ocasiones incorrecto, ni siquiera aproximado, está lejos de la realidad, es dramáticamente incorrecto. Esto es brutal porque hace dudar de muchas cosas que damos por verdad”, dice el matemático.

Entonces el doctor Rojas decidió enviar los resultados de su investigación al congreso más relevante de su área, la Teoría de la Computación, STOC2020. Su trabajo debía ser revisado por varios de sus pares para ser aprobado. Uno de ellos no salía de su asombro que el tan utilizado Método de Montecarlo no funcionase como se esperaba. “Nos escribió diciendo: ‘Miren, aquí ustedes explican esto. Pero esto no está bien, no puede ser’. Y nos pidió más explicaciones. Nosotros le respondimos explicando por qué era así. Ahí recién se convenció. Entonces claro, fue sorpresa”, detalla (obviamente quedaron seleccionados para el congreso que se realizó de manera virtual).

Pero tras la conmoción, el mismo Rojas coloca mesura: “Esto es una cosa abstracta, tampoco es tan grave. No significa que todo de verdad esté malo. Si bien los casos que encontramos son varios, siguen siendo relativamente excepcionales. Entonces, más que nada es una invitación a ser más cautelosos. Al mismo tiempo, ahora viene la pregunta, cuáles son los métodos alternativos, qué caminos se abren ahora, qué nuevos paradigmas podemos encontrar que nos permitan sobrepasar estas nuevas limitaciones”, comenta este matemático.

La ruleta de Ulam

La historia del Método de Montecarlo parte hace unos 65 años. Stanislaw Ulam, que trabaja en el famoso proyecto Manhattan que buscaba desarrollar la bomba atómica, se encuentra en el hospital recuperándose de una operación por encefalitis. Aburrido, empieza a jugar el solitario. Entonces piensa: ¿cuál es la probabilidad que gane este juego? Como buen matemático, empieza a calcular y se da cuenta de que se trataba de un trabajo infernal, imposible. Entonces piensa la solución al revés: he jugado cientos de veces el solitario, mira para atrás la estadística de sus juegos, lo que le permitió aproximar la probabilidad de ganar.

Así surge el Método de Montecarlo, que hace referencia al Casino de Montecarlo, específicamente, a la ruleta y su generación de números aleatorios (y afortunadamente no se llama método Ulam-Von Neumann).

Ulam, de origen polaco, no se queda ahí. Piensa en un inconveniente ‘trivial’ que tiene en el trabajo. «Su grupo tenía problemas para entender una reacción de difusión en cadena de neutrones para construir la bomba, necesitaban controlarla, y para eso necesitaban predecir qué tan rápido se iban a generar estas reacciones en cadena. Los cálculos los tenían vueltos locos, no eran capaces de hacerlos”, explica el doctor Rojas.

Entonces los científicos aprovecharon los inicios de la computación (análoga, ni siquiera digital) y empezaron a simular la reacción en cadena de neutrones con diversas condiciones iniciales. Anotaron toda la estadística (como cuando Ulam jugaba el solitario) y aplicaron, por primera vez, el Método de Montecarlo que les permitió llegar a una aproximación de lo que sucedería. Y funcionó.

“Desde entonces el Método de Montecarlo reemplaza muchas veces el cálculo largo. Simplemente uno simula y simula. Cada simulación es errada, porque el sistema es caótico, pero cuando uno las mira todas y toma el promedio, la hipótesis es que ese promedio refleja el resultado”, resume el matemático.

Esa aproximación funcionó en el problema en el trabajo de Ulam. Pero justamente lo que el matemático chileno descubrió es que “en muchos casos, en un sistema simple, ese resultado está muy lejos de lo que se supone que uno quiere simular o calcular”, sostiene Rojas, quien realizó su doctorado en la École Polytechnique, la ‘universidad de los ingenieros’ de Francia. Porque claro, el pregrado de Rojas es ingeniería. “Yo no conocía que la matemática era una carrera cuando era niño, ni incluso cuando entré a la universidad. Estando adentro, había unos cursos de matemática más avanzada, y fue lo que más me acomodó. Por eso seguí matemática”, cuenta.

El propio Rojas reconoce que es complejo que la gente comprenda su trabajo como matemático en temas puramente teóricos. Mientras el mundo corre acelerado, Rojas se la pasa semanas mirando el techo o por la ventana, tocando el piano y el violín o haciendo pan casi a diario, actividades que le permiten buscar soluciones a sus preguntas, que van más allá de la curiosidad y que pueden tener fuerte implicancias, tanto conceptuales como tecnológicas. Tomemos dos ejemplos.

¿Alguna vez salió de su casa con paraguas porque pronosticaron lluvias y resulta que sólo sacó a pasear el adminículo? La pregunta es obvia, ¿por qué cuesta tanto pronosticar el tiempo? La respuesta viene justamente de un matemático, del estadounidense Edward Lorenz que para la II Guerra Mundial le tocó trabajar pronosticando el tiempo para apoyar los bombardeos aéreos. Lorenz se doctoraría en 1948 como meteorólogo.

Lorenz estaba tratando de crear un programa para pronosticar el clima en un computador bastante simple (LGP-30) utilizando 12 variables, como temperatura, viento y presión barométrica. Un día de invierno de 1961, el meteorólogo quería mirar una secuencia en detalle, así que vuelve a correr el programa. Pero toma un atajo: no comienza desde el principio, sino que desde el medio. Tras tomarse una taza de café, vuelve al computador y se da cuenta de que arrojó resultados diametralmente opuestos a la primera vez. A poco andar se da cuenta de la razón. En vez de ingresar en el computador una de las variables con seis decimales 0.506127, lo hizo sólo con tres: 0.506. Esa pequeña diferencia menor a 0,1% cambiaba completamente los resultados.

Surgía el caos. En realidad, la teoría del caos.

“Basta que yo tenga un pequeño error en mi medición para que ya no sea capaz de predecir con certeza dónde va a estar el sistema en el futuro. Eso puede ser porque no soy capaz de medir bien mi estado inicial o porque estoy usando el computador que tiene pequeños errores entremedio de cada cálculo”, detalla Rojas. En el caso del tiempo, en la actualidad resulta imposible predecirlo en el mediano plazo porque requiere de números sumamente exactos. Por ejemplo, si una de esas variables que empleó Lorenz fuese un número con infinitos decimales (como cuando dividimos 10 en 3), el computador simplemente lo aproximaría a un 3,3333 (porque los computadores sólo trabajan con números discretos, como le llaman los matemáticos). Y ya sabemos las dramáticas consecuencias que esas aproximaciones tienen en meteorología.

Poco después el mismo Lorenz (que murió en 2008 a los 90 años) desarrolla un concepto casi poético, el efecto mariposa, para dar cuenta que pequeños cambios pueden tener grandes consecuencias. “¿Puede el aleteo de una mariposa en Brasil desencadenar un tornado Texas”, titularía el propio Lorenz a una de sus conferencias (si quedó intrigado, puede leer el libro Chaos de James Gleick).

Y claro, ya lo decía el Premio de Nobel de Física Richard Feynman (amigo de Ulam, del método de Montecarlo): “La naturaleza no es clásica, maldición, y si quieres hacer una simulación de la naturaleza, será mejor que sea de mecánica cuántica”. Los computadores actuales son clásicos (se rigen por la mecánica clásica). Entonces, ¿un computador cuántico podría predecir el tiempo?

Un mundo de ceros y unos

En los computadores actuales, los bits -que pueden tener el valor de 1 ó 0 (“sí” o “no”, “encendido” o “apagado”)- están guardados dentro de chips. Pero también podemos guardar esos unos y ceros en unidades mucho más pequeñas, como átomos o pequeñas moléculas, que se rigen por la mecánica cuántica. Entonces en vez de limitarnos a tener un 1 o un 0, este universo cuántico mucho más complejo nos permite toda la combinación de valores: 0 0, 0 1, 1 0 y 1 1 al mismo tiempo (superposición le llaman). Entramos de lleno en los computadores cuánticos.

Estas máquinas que más parecen una lámpara de araña de cobre reluciente con tubos, aún existen a nivel de prototipo. Los computadores cuánticos podrían ayudar, por ejemplo, con el problema de trabajar con la matemática continua, que incluye a esos esquivos números con infinitos decimales (llamados reales), como el famoso π: 3,14… Necesitamos ir más allá de la simple aproximación finita. Pero, para eso, hay harta matemática por detrás. Ahí es donde trabaja el doctor Rojas, siendo parte del grupo internacional “Calculando con datos infinitos”.

“Nosotros trabajamos con un modelo exacto que considera el objeto infinito como tal, lo tratamos como un número infinito de aproximaciones finitas arbitrarias: lo cortamos en pedazos, y si necesitamos más, miramos más. Ahí hay toda una teoría que se está desarrollando, análoga a lo que pasó con las matemáticas discretas (de la computación tradicional)”, cuenta Rojas.

Y agrega: “Eso para mí es fundamental porque yo estudio modelos de la física que típicamente usan datos continuos. Entonces, si yo quiero responder con exactitud si el computador puede o no hacer algo, no puedo usar el análisis numérico, tengo que emplear la teoría exacta y para eso hay que desarrollarla, porque no está”.

Entonces ahí cobran sentido las palabras de Rojas, cuando intenta explicar su oficio, el cual reconoce que es “difícil de transmitir porque no es visible”: “Las matemáticas están presente esencialmente en casi todas las cosas, sobre todo en el funcionamiento fundamental de una tecnología. Como que uno está ahí, tras bambalinas, mirando el éxito de la tecnología”, finaliza. Ojalá, de paso, ese éxito incluya nunca más sacar a pasear un paraguas.